费尔马点

费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。对于一个顶角不超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。对于一个顶角超过120度的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。费尔马在笛卡儿系统地阐述现代解析几何基础的同时，另一位法国数学天才费尔马(Pierrede Fermat)也注意到这门学科．费尔马要求承认是他发明解析几何的理由是：他在1636年9月给罗伯瓦的纳亮一封信中说到，他有这个概念已经七年了．在他死后发表的论著《平面和立体的轨迹引论》(isogoge ad locus planos et solidos)中，记载了这项工作的一些细节．在这里，我们见到了一般直线和圆的方程，以及关于双洞行宽曲线、椭圆、抛物线的讨论．在一部1637年前完成的、关于切线和求面积的著作中，费尔马解析地定义了许多新的曲线．笛卡儿只提出了很少几种由机械运动生成的新曲线，而费尔马则提出了许多以代数方程定义的新曲线．曲线xmyn=a，yn=axm和rn=aθ，现在还被称作费尔马的双曲线(hyperbolas)、抛物线(parabolas)和螺线(spirals of Fermat)．费尔马还和别人一起提出了后来被称作阿涅泽的箕舌线(witch of Agnesi)的三次曲线；这曲线是以阿涅泽(Mati- a Haetana Agnesi，1718—1799)的名字命名的，她是一位多才多艺的妇女，是杰出的数学家、语言学家、哲学家和夜游病患者．这样，在很大程度上，笛卡儿从一个轨迹开始然后找它的方程，费尔马则从方程出后，然后来研究轨迹．这正是解析几何的基本原则的两个相反的方面．费尔马的著作用的是韦达的记号，并且因此，与笛卡儿的较为现代的记号相比，有点象古文。证明方法a出现等于或多于2次，则A获胜：有11种情况是这样的．b出现等于或多于3次，则B获胜；有5种情况是这样的．所以，赌金应以11∶5的比例划分．对于一般情况：A需要m分获胜，B需要n分获胜，我们能写出a、b两个字母每次取m+n-1个的2m+n-1种排列．然后，我们找a出现等于或多于m次的α种情况，和b出现等于或多于n次的β种情况．所以，赌金应以α∶β的比例划分． 帕斯卡利用其“算术三角形”解得分问题，在9．9节中讲过．令C(n，r)表示从n件中每次取r件的组合数[参看问题研究9．13(g)]，我们能容易地证明：“算术三角形”的第五条对角线上的数分别为： C(4，4)=1，C(4，3)=4，C(4，2)=6，C(4，1)=4，C(4，0)=1． 因为，回到上面讲的特殊的得分问题，C(4，4)是得4个a的方式数，C(4，3)是得3个a的方式数，等等；由此得出：此问题的解为： [C(4，4)+C(4，3)+C(4，2)]∶[C(4，1)+C(4，0)]=(1+4+6)∶(4+1) =11∶5 对于一般情况，A需要m分获胜，B需要n分获胜，我们选择帕斯卡算术阵的第(m+n)条对角线．然后，我们求此对角线的前n个数的和α和此对角线的最后m个数的和β．于是，赌金应依α∶β的比例划分． 帕斯卡和费尔马在他们1654年的有历史意义的通信中考虑到有关得分问题的其它问题，例如，当博弈者超过两个时，或两个博弈者的技巧参差不齐时，赌金该如何划分．帕斯卡和带袭费尔马的这个工作开数学概率论之先河．惠更斯(Christiaan Huygens，1629—1695)写关于概率论的第一篇正式论文，就是以帕斯卡—费尔马的通信为基础的．雅科布．伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)的《猜测术》(Ars conjectandi)在他死后1713年才出版；这部书是这门学科的最优讲述，它包括惠更斯的较早的论文．继这些先行者之后，促进此学科发展的有：棣莫费尔(De Moivre，1667—1754)，丹尼尔．伯努利(Daniel Bemoul-li，1700—1782)，欧拉(1707—1783)，拉格朗日(1736—1813)，拉普拉斯(1749—1827)，和一大批其他数学家．