定理证明
已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC.
证明:
情况1:
如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:
∵OA、OC是半径
解:∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2:
如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时:
连接AO,粗虚槐并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解:∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的岩友外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3:
如图3,当圆心O在∠BAC的外部时:
连接AO,并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解:∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO(等腰三角形底角相等),∠CAD=∠ACO(OA=OC)
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和誉此)
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
圆心角等于180度的情况呢?
看情况1的图,圆心角∠AOB=180度,圆周角是∠ACB,
显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2
∠OCB=∠OBC=∠AOC/2
所以∠OCA+∠OCB=(∠BOC+∠ABC)/2=90度
所以2∠ACB=∠AOC
圆心角大于180度的情况呢?
看情况3的图,圆心角是(360度-∠AOB),圆周角是∠ACB,
只要延长CO交园于点E,由圆心角等于180度的情况可知∠CAE=∠CBE=90度
所以∠ACB+∠AEB=180度,即∠ACB=180度-∠AEB
由情况2可知:∠AOB=2∠AEB
所以360度-∠AOB=2(180度-∠AEB)=2∠ACB