您的位置首页百科问答

二项式定理展开式公式

(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。

二项式定理展开式公式

二项式定理(英语:Binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。

一、二项展开式定义:

二项展开式是依据二项式定理对(a+b)^n进行展开得到的式桐弯子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的组合数,与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项,而系数最大的项却不一定是中间项。

二、二项式定理:

二项式定理展开式公式

二项式定理展开式公式

其中,又有

二项式定理展开式公式

等记法,称为二项式系数,此系数亦可表示为杨辉三角形。等式的右边

二项式定理展开式公式

即为(a+b)n次方的展开式,称为二项展开式。

三、二项展开式的性质:

1、项数:n+1项;

2、第k+1项的二项式系数是C;

3、在二项展开式中,与首末两端等距离的两悔滑项的二项式系数相等;

4、如果二项式的幂指数是偶数,中间的一项的局前闷二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的的二项式系数最大,并且相等。

四、证明

采用数学归纳法对二项式定理进行证明:

如图:

二项式定理展开式公式

等式也成立。

结论:对于任意自然数n,等式均成立。

五、例题

1、某项的系数

二项式定理展开式公式

求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点,每年的高考题都有一定的题出现。

2、系数最值项

二项式定理展开式公式

3、指定项

二项式定理展开式公式

求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行。