Simone
（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分360问答别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠问亲殖CBF=55，求BC和BF的长．考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解血非宣河争压玉某笑直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角沙乡功省绝，从而证明∠ABF=附程向说灯概原迅师夫百90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比于垂例练干六必罪例式求得线段的长即可．解答：（1）证明：连接AE，∵滑降AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=12∠CAB．∵∠CBF=12∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=55，∠1=∠CBF，∴sin∠1=55，∵在Rt△AEB中，∠A曲饭英EB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=5，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=25，在Rt△ABE中，由勾股定客青飞凯各策括理得AE=AB2−BE2=25，∴sin∠2=AEAB=255，cos∠2=BEAB=55，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴GCBF＝地吗族AGAB∴BF=GC•ABAG=203
