微积分的应用题

1.微分在近似计算中的应用：要在半径r=1cm的铁球表面上镀一层厚度为0.01cm的铜，求所需铜的重量W（铜的密度k=8.9g/cm^3）(说明：cm^3后面的3是幂，也就是立方厘米，下面的r^3也是指r的3次方，依此类推）解：先求镀层的体积，再乘以密度，便得铜态简的质量。显然，镀层的体积就是两个球体体积这差。设球的体积为V，则V=f(r)=4πr^3/3 由题意可取r'=1,△r=0.01 于是，△V≈dV=f'(r')△r=f'(1)*0.01,而f'(1)=(4πr^3/3)'|r'=4π所以铜的体积约为dV=f'(1)*0.01=4π*0.01≈0.13(cm^3)于是镀铜的质量约为dW=kdV≈0.13×8.9≈雹含1.16(g)2.定积分在物理学中的应用：根据虎克定律，弹簧的弹力与形变的长度成正比。已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N，求弹簧压缩2cm时所作的功。解：由题意，弹簧的弹力为源闭笑f(x)=kx(k为比例常数），当x=0.01m时f(0.01)=k×0.01=1.4×10^4N由此知k=1.4×10^6,故弹力为f(x)=1.4×10^6x于是，W=∫上标0.02下标0（1.4×10^6x)dx=1.4×10^6*x^2/2|上标0.02下标0=280(J),即弹簧压缩2cm时所作的功为280J。