(1)答案是否定的.若存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1),则(m+1)2=n2+n+1,显然n>1,于是n2<n2+n+1<(n+1)2,所以,n2+n+1不是平方数,矛盾. (5分)(2)当k=3时,若存在正整数m,n,满足m(差喊m+3)=n(n+1),则4m2+12m=4n2+4n,(2m+3)2=(2n+1)2+8,(2m+3-2n-1)(2m+3+2n+1)=8,(m-n+1)橡搭(m+n+2)=2,而m+n+2>虚如野2,故上式不可能成立. (10分)当k≥4时,若k=2t(t是不小于2的整数)为偶数,取m=t2-t,n=t2-1则m(m+k)=(t2-t)(t2+t)=t4-t2,n(n+1)=(t2-1)t2=t4-t2,因此这样的(m,n)满足条件.若k=2t+1(t是不小于2的整数)为奇数,取m=t2?t2,n=t2+t?22则m(m+k)=t2?t2(t2?t2+2t+1)=14(t4+2t3-t2-2t),n(n+1)=t2+t?22 ? t2+t2=14(t4+2t3-t2-2t),因此这样的(m,n)满足条件.综上所述,当k=3时,答案是否定的;当k≥4时,答案是肯定的.(15分)
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