Simone
【解答】解：（1）依题意，得：
a-b+1=0a+b+1=0，解得a=-1b=0；∴抛物线的解析式为：y=-x2+1；（2）易知A（-1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y=x+1；由于AC∥BD，可设直线BD的解析式为y=x+h，则有：1+h=0，h=-1；∴直线BD的解析式为y=x-1；联立抛物线的解析式得：y=-x2+1y=x-1，解得x=1y=0，x=-2y=-3；∴D（-2，-3）；∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=12×2×1+12×2×3=4；（3）∵OA=OB=OC=1，∴△ABC是等腰Rt△；∵AC∥BD，∴∠CBD=90°；易求得BC=2，BD=32；∴BC：BD=1：3；由于∠CBD=∠MNA=90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，则有：△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：MNAN=BCBD=13或MNAN=BDBC=3；即MN=13AN或MN=3AN；设M点的坐标为（x，-x2+1），①当x＞1时，AN=x-（-1）=x+1，MN=x2-1；∴x2-1=13（x+1）或x2-1=3（x+1）解得x=43，x=-1（舍去）或x=4，x=-1（舍去）；∴M点的坐标为：M（43，-79）或（4，-15）；②当x＜-1时，AN=-1-x，MN=x2-1；∴x2-1=13（-x-1）或x2-1=3（-x-1）解得x=23，x=-1（两个都不合题意，舍去）或x=-2，x=-1（舍去）；∴M（-2，-3）；故存在符合条件的M点，且坐标为：M（43，-79）或（4，-15）或（-2，-3）．
